Разделы



Успех в дополнительном измерении

Число успехов как случайная величина. Под случайной величиной понимается переменная, которая определена на пространстве элементарных событий через исходы некоторого опыта или эксперимента.

Роль такой случайной величины в нашем рассмотрении играет показа­ тель к (число успехов).

Практический интерес для нас при исследовании процесса случайного поведения эффективности, показатель которой выражается в значении к, представляют вопросы, которые связаны, прежде всего, со следующими ха­ рактеристиками:

1)            вероятность достижения суммарного успеха (величина к) вне зависимости от особенностей того или иного сочетания раз­ ных исходов, а также закономерные отклонения от ожидаемых величин;

2)     вероятные конфигурации кривой эффективности, которые мо­ гут складываться по ходу испытаний.

Очевидно, что число успехов (к) может случайным образом изменяться в каждой серии г одних и тех же испытаний Бернулли в пределах от 0 до г.


При этом особенно важно отметить, что одному и тому же значению пе­ ременной к могут соответствовать разные конфигурации (профили) гра­фика эффективности.

Наиболее вероятное значение. Каждое значение к , будучи случайной ве­ личиной, может характеризоваться своей вероятностью возникновения. По­ этому можно полагать, что в каждой модели существуют некие наиболее вероятные значения к . Слишком большие отклонения величины к от этих наиболее вероятных значений в какой-то конкретной серии испытаний ме­ нее вероятны, чем маленькие.

Следует подчеркнуть различие между вероятностью некого числа ус­ пехов Р( к) и вероятностью успеха р в каждом отдельном испытании.

Напомним, что важнейшей особенностью чистого случая является независимость вероятности успеха (р) в каждом отдельном испытании от истории предыдущих результатов. Соответственно вероятность неуда­ чи q = 1 - р.

Нас интересуют вероятностные оценки P ( k / r / p ) в зависимости от трех переменных:

•        числа успехов к;

•        исходных значений q и р в биномиальных испытаниях;

•        длины серии г .

В рамках модели случайности можно рассматривать поведение кривой эф­ фективности какого-то заданного сигнала, имеющего определенную обо­ лочку и конкретную настройку (по прибыли и убытку).

Одна из частных, но практически важных моделей — это идеальная монета, где

p = q = 0,5.

Для модели разновеликая монета соотношение р : q может быть любым.

Как мы уже ранее видели, изменения априорных вероятностей* р и q зависит от настройки сигнала.

О способе теоретического расчета этих значений речь пойдет несколько позже. Что же касается эмпирических значений р и q , то их можно получить по результатам наблюдений числа успехов к в заданной серии испытаний г:

п»ї

где к — число успехов в г проведенных испытаниях.

Учтем, что число неудач будет равно (г - к). Соответственно суммарный баланс (число успехов минус число неудач) можно представить в виде выражения:

Допустим, что может быть проведено N серий по г испытаний в каждой. При этом результаты каждого испытания обозначим соответствующим век­ тором эффективности в дополнительном измерении, где:

•        на оси абсцисс откладывается порядковый номер испытания (от i до г);

•        на оси ординат — суммарный результат, т.е. текущая балансовая разница между абсолютными значениями успехов и неудач.

Тогда результаты каждой серии испытаний предстанут на графике в виде кривой случайного блуждания длиной в г векторов. Проведя аналогию меж­ ду г и временем Т, а также между балансовым результатом (2к - г) и про­странством перемещения, можно говорить о пространственно-временном графике блуждания.

Если (2к - г) > 0, то точка блуждания находится в положительной части пространства (правая верхняя четверть). При (2к - г) < 0 точка находится в отрицательной половине (правая нижняя четверть).

Для каждой нулевой отметки (нахождение точки блуждания на оси абсцисс) справедливо равенство 2к = г.

Это означает, что число успехов и неудач будет равным при усло­ вии четности количества испытаний.

Рассмотрим событие: г испытаний привели к суммарному числу успе­ хов к (независимо от конфигурации их возникновения).

Прогнозирования являются стержнем любой торговой системы, в связи с этим правильно составленные прогнозы Форекс могут сделать вас безгранично состоятельным.

В комбинаторике выведена формула расчета для общего случая р и q , и мы даем ее без вывода:

Для наглядности представим некоторые расчеты по испытаниям с идеаль­ ной монетой, для которой р = q = 0,5.

Тогда можно рассчитать вероятность P ( k / r /0,5) того, что г испытаний привели к раз к успеху:

Случайная величина к имеет распределение результатов, которое называ­ется биномиальным. Известно, что при постоянном значении г изменение


этой функции в зависимости от к имеет примерно следующий вид (см. рисунок).

п»ї

Как видим, максимальному значению вероятности соответствует опреде­ ленное среднее число к( ср). Его называют наиболее вероятным числом успехов.

Для условия р = q = 0,5 наиболее вероятное значение числа успехов к(ср) = г/2 (при четном значении г).

Каждое число успехов при биномиальных испытаниях име­ ет свою вероятность появления, зависящую от соотношения значений р и q . При р = q = 0,5 наиболее вероятное значение к(ср) = г/2.

Этот результат вполне соответствует обыденным представлениям.

Можно рассчитать, что для испытаний, где г = 8 бросков монеты эта ве­ роятностная функция будет принимать следующие значения:

Р( успехов - 0/г - 8) - i : 256;

Р (1/8) = 8/256;

Р (2/8) = 28/256;

Р (3/8) = 56/256;

Р (4/8) = 70/256;

Р (5/8) = 56/256;

Р (6/8) = 28/256;

Р (7/8) = 8/256;

Р (8/8) = 1/256.

Как видим, наиболее вероятное число успехов равно 4. А конкретное зна­ чение вероятности этого события: 70 / 256 = 0,27 (см. рисунок).


Если г = 2к (четное число испытаний), то к( ср) = г/2. Так, если г = 100, наиболее вероятное число успехов — 50.

Математическое ожидание. Предварительно напомним, что выше были рас­ смотрены такие понятия, как:

•        вероятности успеха (р) в каждом отдельном испытании;

•        наиболее вероятное число успехов к( ср);

•        вероятность определенного числа успехов Р( к/г/р).

Математическое ожидание числа успехов Е( к) является еще одним важ­ ным дополнительным понятием. Это среднее значение числа успехов, которое, согласно математическим вычислениям, ожидается по результа­ там серии испытаний*.

Подчеркнем, что в общем случае наиболее вероятное число успехов к( ср), которое определяется по максимальному значению вероятности определен­ ного числа успехов P ( k / r / p ), отличается от математического ожидания чис­ ла успехов Е(к), хотя иногда может и совпадать.


Так, переменная величина числа успехов к может принимать значения от 1 до г. Каждому из них соответствует своя вероятность: Р (0), Р(1) ... Р( г). Тогда среднее значение числа успехов, т.е. математическое ожидание по результатам г испытаний:

Как видим, каждое из возможных значений числа успехов оказывается, так сказать, взвешенным по вероятности своего возникновения.

Для интересующего нас биномиального распределения эта формула при­ нимает вид:

При равновероятности исходов каждого испытания (р = q = 0,5):

В данном примере математическое ожидание случайной величины к равно наиболее вероятному числу успехов к( ср). Но при неравенстве р и q та­ кого совпадения может и не быть.

Предположим, что некая система генерирует сигнал, который характе­ ризуется таким соотношением: p = 0,6 Hq = i - p = 0,4. Пусть испытание заключается в двух применениях сигнала. Читатель может рассчитать само­ стоятельно, что наиболее вероятное значение числа успехов к( ср) = 1, при вероятности этого события Р(1) = 0,48. А математическое ожидание резуль­ тата Е( к) = 1,2. Это означает, что, скажем, при 10 испытаниях (по два при­ менения сигнала в каждом), т.е. всего 20 попыток, следует ожидать 12 ус­ пехов. При 100 двойных испытаниях — 120 успехов и т.д.

Закон больших чисел. Его смысл прост: чем больше число испытаний, тем ближе число достигнутых успехов будет к его наиболее вероятному ре­ зультату, выражением которого является математическое ожидание.

Для вышеприведенного примера (р = 0,6 и q = 0,4) чем больше испыта­ ний сигнала, тем ближе среднее значение успехов к математически ожи­ даемой цифре 1,2.

Научная формулировка закона звучит более мудрено, но его смысл от этого не меняется. Для интересующей нас модели это звучит так:

• если проводить N серий при г испытаниях в каждой серии, то
среднее по сериям число достигаемых успехов к будет таково,
что величина {(к/т) - р } устремится к 0, как только N станет уве­
личиваться до бесконечности.

Иногда говорят иначе:

• с возрастанием N до бесконечности вероятность того, что доля
успехов к/т отклоняется от р на сколь угодно малую величи­
ну, стремится к нулю.


Как видим, закон говорит об ожидаемом конечном результате вполне определенно, т.е. звучит почти с детерминистической фатальностью. Ведь вероятность отклонений, равная нулю, — это достаточно определенная не­ возможность такого события.

Здесь мы подошли к моменту, имеющему ключевое значение для всего последующего рассмотрения, поскольку складывается впечатление, что за­ кон больших чисел, как говорится, ставит жирный крест на надеждах иметь число успехов, превышающее математическое ожидание.

Это и так, и не так.

Разумеется, этот закон незыблемо справедлив, и в бесконечном ряду ис­ пытаний результаты будут определенно равны математическому ожиданию.

Однако обратим внимание, что неотвратимость действия этого закона вступает в силу только по мере возрастания N.

К счастью, нерушимый закон больших чисел ничего не говорит о том, каково будет число успехов в каждой отдельной серии испытаний г , чис­ ло которых ограничено. Здесь никакого долженствования, кроме вероят­ных оценок, еще не наступает.

На самом деле, если, например, зафиксировать продолжительность ис­ пытаний в каждой серии на уровне г, то значение числа успехов к от се­ рии к серии будет случайным образом изменяться.

Дисперсия и стандартное отклонение. Возможный в ограниченных сериях испытаний разброс текущих результатов вокруг ожидаемого значения ха­рактеризуется с помощью таких понятий, как дисперсия и стандартное от­ клонение.

Для их понимания необходимо ввести другое важное определение: квад­ ратичное отклонение случайной величины. Это квадрат разницы между средним значением к( ср) и тем, что наблюдается в конкретном экспери­менте к, т.е. [(к(ср) - к]2.

Так, если к( ср) = 5, а в ходе какой-то серии испытаний было получено толь­ ко 3 успеха, то квадратичное отклонение будет равно:


В других сериях квадратичные отклонения могут быть иными. Тогда можно рассчитать среднее квадратичное отклонение: просуммировать все квадратичные отклонения и разделить на число проведенных серий испытаний.

Это среднее квадратичное отклонение случайной величины обозначает­ ся как s 2 и называется дисперсией.

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, то получим стандартное отклонение s .

Теперь можно представить процедуру вычисления эмпирического значе­ния дисперсии и стандартного отклонения.

Пусть, например, было проведено N серий испытаний с монетой, кото­ рые дали соответственно kO , ki , к 2 , кЗ ... кг успехов в каждой. Тогда сред­ нее число к( ср) по всем сериям:

Для вычисления дисперсии, или среднего квадратичного отклонения, s 2 сум­ ма квадратов отклонений от этого среднего складываются, и результат де­ лится на N :

Стандартное отклонение, которое получается по экспериментальным дан­ ным, можно сравнивать с некими теоретическими значениями и на этом основании делать вывод, скажем, о соответствии монеты, примененной в эксперименте, идеальной.

Для биномиального распределения формула принимает вид:

При р = q = 0,5 (идеальная монета):

Для этой модели при серии, скажем, г = 100 испытаний стандартное откло­ нение s = 100 / 4 = 25. Поскольку наиболее вероятное число успехов к( ср) = 50, то можно ожидать, что колебание успешных испытаний от се­ рии к серии будет происходить примерно в пределах между 25 и 75.


В этой связи возникает важный вопрос о том, насколько и как часто мо­ гут отклоняться экспериментальные результаты от тех, которые являются наиболее вероятными?

Для ответа на этот вопрос необходимо знать тот закономерный про­филь, каким распределяются случайные результаты в ходе испытаний при определенных исходных условиях.

Нормальное распределение. Это один из возможных профилей распре­ деления случайной величины. Он характерен именно для биномиальной модели.

Для простоты изложения ограничимся только определениями.

Во-первых, функция f ( x ) = 1: (2я)0,5хе°5хх2) по определению назы­вается плотностью вероятности нормального распределения, где постоян­ ные тс = 3,14 ие = 2,71.

Эта функция показывает, каким образом изменяется вероятность собы­тия по мере его удаления от математического ожидания.

Нормальной функцией распределения, или распределением Гаусса, яв­ ляется интеграл этой функции, определенный для значений х от минус бесконечности до х (это означает — все возможные варианты удаления события от математического ожидания):

Можно убедиться, что нормальным в указанном математическом смысле является такой разброс результатов, при котором:

•        99,99% всех данных попадают в пределы 4 стандартных отклонений;

•        99,86% — в пределы трех стандартных отклонений;

•        97,72% — двух стандартных отклонений;

•        84,13% — одного стандартного отклонения.

Данный эталон (или стандарт) нормальности можно использовать при анализе экспериментально полученного распределения.

Для нас важно то, что именно таким распределением отличаются пуассо-новские случайные процессы.

В практическом плане интерес представляет оценка вероятности следу­ ющего события:

• число успехов в ходе биномиальных испытаний лежит в ка­ких-то определенно заданных пределах.


Если такие пределы выражать в числе стандартных отклонений, то соответ­ ствующие оценки можно получить, воспользовавшись теоремой Чебышева.

Теорема (неравенство) Чебышева. В сравнении с распределением Гаусса эта теорема дает очень грубое приближение. Но зато она удобна в примене­ нии, поскольку позволяет сделать это быстро, не прибегая к обращению к сложным таблицам.

Согласно данной теореме, вероятность отклонения любой случайной величины к от среднего значения к( ср) в ту или иную сторону на расстоя­ нии не более чем п раз по s (где п — положительное число) не меньше:

Диапазон отклонения значений к можно определить в виде неравенства:

Если задать п , то получим следующие оценки:

• для п = 3 (три стандартных отклонения в каждую сторону) с уве­
ренностью не менее чем 89% следует ожидать, что все значения
случайной величины будут содержаться в пределах

(к( ср) - 3 s ) < к < (к(ср) + 3 s );

• для п = 2 — с уверенностью не менее 75%, все значения случай­
ной величины будут содержаться в пределах

(к( ср) - 2 s ) < к < (к(ср) + 2 s );

• для п = 1 — нет никакой уверенности, что все значения случай­
ной величины будут содержаться в пределах

(к( ср) - s ) < к < (к(ср) + s ).

Это позволяет соответствующим образом оценить получаемые эксперимен­ тальные результаты и увидеть, насколько они укладываются в схему иде­ альной монеты.

В нормальном распределении (чистая случайность) чем больше чис­ ло стандартных отклонений, тем меньше вероятность того, что результаты экспериментальных испытаний выйдут за установленные пределы.

Вместе с тем, следует понимать вероятностно-статистический характер этой закономерности. Она описывает не какую-то конкретную серию испытаний, а лишь указывает общую тенденцию, которая должна проявляться по ито­гам ряда экспериментов, повторяемых в одинаковых условиях.


Читать далее: Конфигурация случайного блуждания