Разделы



Конфигурация случайного блуждания

Теперь можно перейти к анализу наиболее вероятных конфигураций, которы­ ми может достигаться то или иное число успехов в случайных испытаниях.

Это уже другая сторона проявления воли случая, в которой интерес представляет не только то, насколько успешной была серия испытаний, но и каков путь, т.е. конфигурация движения к данному результату.

Ниже мы выделим основные закономерности, которые характеризуют наиболее существенные особенности конфигураций, возникающих в допол­ нительном измерении как пространстве случайных событий.

Если вновь вернуться к испытаниям с идеальной монетой, то их мож­ но проводить по двум схемам:

1)            путем повторения одинаковых серий (за счет изменения N при постоянном г); тогда мы убедимся в справедливости закона боль­ ших чисел: с ростом N разница между экспериментально полу­ чаемым значением к и к( ср), рассчитанным по теоретической модели, будет стремиться к нулю;

2)     за счет увеличения продолжительности серии г при неизменно­ сти ее номера N , который останется равным 1.

Работу трейдера с определенным сигналом можно описать любой из этих схем. Но закономерные конфигурации удобнее изучать при фиксирован­ном N.

Закон повторного логарифма: беспредел . Вспомним, что закон больших чисел, справедливый для бесконечного значения N , по существу, говорит о невероятности отклонения экспериментально наблюдаемого числа к от ма­ тематического ожидания этой величины. Но этот закон не утверждает, что число успехов к обязано оставаться близким к нему в каждой конкрет­ной серии испытаний, т.е. при каком-то определенном N.

А что же там происходит? Об этом говорит закон повторного логариф­ ма. Существо этого закона в том, что в ходе отдельно взятой серии испыта­ ний, сколь бы продолжительной она ни была, могут происходить даже са­ мые маловероятные события.

Для дальнейших пояснений удобно вместо переменной к (число успе­ хов) ввести так называемое нормированное число успехов:

Далее, опуская математические выкладки*, отметим два главных положе­ ния данного закона.


Первое. Хотя умеренные значения S * более вероятны, однако максимум этой величины (т.е. отклонение числа успехов от математического ожида­ ния) будет медленно возрастать. Тем самым, появляется принципиальная возможность для возникновения сколь угодно больших отклонений. Это своего рода беспредел в случайном поведении.

Разумеется, здесь нет противоречия закону больших чисел, поскольку рав­ новесие должно естественным образом восстанавливаться, в частности, при бесконечном увеличении числа серий ( N ) испытаний.

Второе. Практически наверняка последовательность максимумов таких отклонений будет определяться по формуле:

п»ї

Именно в этом положении и заключено основное содержание закона по­вторного логарифма.

На основании этого закона принято делать вывод о том, что игрок, действу­ ющий в рамках модели идеальной монеты, может быть уверенным в од­ ном: рано или поздно его выигрыш станет положительным**.

Однако не следует забывать, что у этого закона есть и оборотная сторо­на: рано или поздно баланс успехов и неудач станет отрицательным.

Таким образом, вполне надежный путь добиться выигрыша существует только для игрока, располагающего неограниченным капиталом. Для этого достаточно терпеливо выждать момент, когда, согласно закону повторного логарифма, обязательно наступит успех, после чего, издав победный клич, можно прекратить игру.

К сожалению, для игрока, который ограничен в средствах, далеко не все­ гда доступна такая нечаянная радость: может быть уже слишком поздно.

Как замечает В. Феллер, игроку с реально ограниченными ресурсами не остается ничего, кроме как воспользоваться своим правом закончить игру в благоприятный для него момент. Тогда ожидаемый результат игры не может быть оценен с помощью предельных теорем и нормального при­ ближения, не дающих твердой надежды на благоприятный прогноз.


Точнее говоря, тогда вообще трудно рассчитать, какими могут быть ре­ зультаты.

Практическое значение закона повторного логарифма в том, что при каких- то условиях у игрока с обычными финансовыми ресурсами существует шанс обойти вердикт вероятностных расчетов, обрекающий на резуль­ тат, который усреднен с точки зрения статистики.

Как выше отмечалось, оборотная сторона этого закона в том, что наряду с выигрышем равным образом существует и возможность полной потери исходного капитала.

Если представить игру как противоборство трейдера, с одной сторо­ ны, и рынка, с другой, то возникает явное неравноправие. Ведь игрок- рынок имеет неограниченный капитал, а финансовые ресурсы игрока-трей­ дера очень и очень далеки от бесконечности.

Прогнозирования являются стержнем любой торговой системы, вот почему компетентно составленные прогнозы Форекс могут сделать Тебя бесконечно денежным.

Но, как говорится, еще не все потеряно. Чтобы убедиться в этом, обра­ тимся к некоторым интересным формам проявления закона повторного логарифма.

Первая теорема (закон) арксинуса: инерция тренда. Определенные на­ дежды дает углубленный анализ конфигурации случайных движений, по­ зволяющий получить более детальное представление о конкретных формах и периодичности распределения исходов*.

Рассмотрим биномиальные испытания, продолжительность которых г .

Оказывается, что, например, в модели с идеальной монетой даже беско­ нечный рост г может не привести к равновесию числа успехов и неудач.

п»ї

Не обладая предварительными знаниями в этой области, трудно себе пред­ ставить, что по мере возрастания величины г такое событие, как равномер­ ное распределение исходов, становится исключительно маловероятным.

В этом, собственно говоря, и заключено содержание первой теоремы (или закона) арксинуса.

Рассмотрим ее более детально.

Если представить результаты испытаний в виде кривой случайного блуждания в пространственно-временном измерении (допустим, верхняя половина — область успеха, а нижняя — неудач), то более строгая с научной точки зрения формулировка звучит следующим образом: при фик­ сированной величине времени t (0 < t < 1) и числе испытаний (г), стремя­щемся к бесконечности, вероятность Р( к > г/2) того, что доля времени (к/г = t ), которую точка блуждания проведет в верхней (успешной) по­ловине графика, будет меньше t , и стремится к числу, определяемому по формуле:

Выделим, в первую очередь, следующие три положения, вытекающие из данной теоремы, которые важны в практическом плане:

•       наименее вероятным является событие: доля времени, которую точка блуждания проведет на какой-то одной стороне (положи­ тельной или отрицательной), будет равна половине всего вре­мени испытаний;

•       наоборот, верным является то, что наибольшую вероятность име­ ет событие: будут иметь место крайние значения, т.е. при к, стре­ мящемся к г или О ;

•       чем более продолжительными будут испытания, тем необрати­мее станет преимущество одного исхода над другим.

Согласно первому закону арксинуса, для серии испытаний г с идеальной монетой достижение баланса числа успехов и неудач — событие крайне маловероятное. Наиболее вероят­ный исход заключается в преимуществе какой-то одной сторо­ны. И чем выше значение г , тем это преимущество может ста­ новиться все более устойчивым.

Парадоксальность первого закона арксинуса по праву считается удивитель­ ной. Проиллюстрируем это на примере 20 испытаний**, вновь воспользо­ вавшись аналогией противостояние трейдер — рынок.

Как мы видели, согласно рассматриваемому закону, наиболее вероят­ ным сценарием развития этого противостояния будет то, что в результа­те конкретной серии испытаний какая-то одна из сторон окажется везун- ком, а другая — неудачником.

Если сделать более точные расчеты, то вероятность для неудачника добиться хотя бы ничьей ничтожна: 0,06. Это означает, в частности, что почти определенно (вероятность 0,94) по результатам 20 бросков должен определиться победитель в данной серии. И чем больше число испытаний, тем эта вероятность выше.


Можно рассчитать и другие варианты.

Например, с вероятностью 0,35 в течение всего периода испытаний не­ удачник (или менее удачливый игрок) никогда не будет в выигрыше. А если и выиграет, то с вероятностью 0,54 не более одного раза.

В этом смысле можно говорить о том, что данный закон устанавливает неизбежное возникновение тренда в результатах испытаний.

Эти результаты вполне приложимы и к событиям в дополнительном из­ мерении.

Народное наблюдение по поводу того, что кто-то бился, колотился, а ниче­ го не добился, — это, в известном смысле, иллюстрация первой теоремы арксинуса, с точки зрения неудачника. Естественно, для везунка все видится иначе: Иной Ивашка живет без промашки.

Таким образом, данная теорема позволяет, так сказать, воочию увидеть, в каком конкретном виде проявляет себя та или иная предрасположенность игрока, действующего в пространстве случайных событий.

Вопрос, который возникает в этой связи: как долго такой тренд удачли­ вости (или неудачливости) может продолжаться?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо представить механизм воз­ никновения тренда удачливости (или неудачливости) в пространстве случайных событий.

В этих целях мы в следующем разделе обратимся к такому понятию, как инерция.

Теоремы о возвращении в начало координат: волна. Оценки возможной продолжительности тренда дают существующие теоремы о возвращении в начало координат. Они рассматривают смену времени удачливости пе­риодом невезучести (и наоборот), что на графике движения выражается возвращением точки блуждания на нулевую отметку.

О периодичности повторных возвращений можно судить по частоте ни­чьих (н). Поскольку, как мы знаем, г должно быть четным числом, то удоб­ нее было бы обозначать общее число испытаний как 2г (г = 2г, где г — это целое положительное число, не равное нулю: 1, 2, 3 и т.д.).

Здравый смысл подсказывает, что чем больше испытаний, тем больше должно быть возвращений в начало координат, т.е. ничьих (н).

Это верно. Но зависимость здесь не является прямо пропорциональной. И на этот счет у В. Феллера приводится доказательства двух важных теорем*.

Теорема 1. Основной является формула вероятности Р( н/2г) того, что точка вернется в начало координат н раз в течение периода испытаний 2г:


Можно рассчитать, что для всех испытаний, продолжительностью 2г, спра­ ведливо неравенство:

Если его проанализировать, можно сделать следующие выводы.

1. Р( н = 0) = Р(н = 1) означает, что наиболее вероятным исходом будет полное отсутствие (н = 0) либо только одно (н = 1) возвращение в на­ чало координат.

2.     Р( н = 1) > Р(н = 2) >... > Р( н = 2г) означает, что одно возвращение более вероятно, чем два (н = 2). Но, в свою очередь, это событие более вероятно, чем три возвращения и т.д.

Повышенная вероятность меньшего числа возвращений объясняется тем, что если уж точка отклонилась от нулевого уровня, то ей труднее вер­ нуться обратно в начало координат, а тем более на противоположную сто­ рону графика.

Таким образом, наиболее вероятными конфигурациями случайного блуждания являются тренд и полуволна (см. рисунок).


Как видим, эти результаты полностью согласуются с первой теоремой арк­ синуса.

Очевидно, что точку завершения полуволновой конфигурации мож­но рассматривать как начало координат для последующего развития собы­ тий. Тогда следующая полуволна (см. рисунок) приведет к волне вида уре­ занной синусоиды (А) или ее нормального варианта (Б).

Теорема 2. Это конкретная оценка вероятностей, которые составляют содержание теоремы 1.

Речь идет о вероятности события, определенного как не более чем не­ которое заданное число возвращений в начало координат.

Как раз об этом и говорит теорема 2.

В более строгой формулировке она звучит так: для некоторого фиксиро­ ванного числа j > 0 вероятность того, что в серии испытаний от 0 до 2г точка блуждания вернется в начало координат не более j x (2г)0,5 раз (при возрас­ тании 2г до бесконечности), стремится к следующей величине:

i

s =0


Мы не будем анализировать эту функцию, а лишь подчеркнем, что веро­ ятность пересечения нулевой отметки будет возрастать пропорциональ­ но не 2г, а квадратному корню из этой величины (2г1/2).

Эта формула означает, что и длина волны будет также возрастать по мере увеличения числа испытаний.

В качестве примера у В. Феллера приведены результаты серий из 6000 ис­ пытаний. При этом зафиксировано, что длина первой волны приблизитель­ но 1000, второй — 2000 и третьей — 3000 шагов (см. рисунок)*.

По таблице нормальной функции распределения можно найти, что вероят­ ность того, что произойдет не более 0,6745 х (2г)05 возвращений в ноль, близка к 0,5**.

Тогда можно посчитать, что, например, для 10 000 испытаний с вероят­ ностью 0,5 произойдет не более 68 ничьих. Учитывая, что только полови­ на приведет к смене лидерства (поскольку вероятность 0,5), средняя дли­ на волны между последовательными изменениями лидерства составит примерно 300 шагов (в какой-то конкретной серии испытаний эта цифра, естественно, может быть иной).


В этой связи возникает еще один вопрос: о расположении максимумов. Представление об этом позволит формулировать ожидания, обоснованны­ ми соответствующими вероятностными оценками.

Второй закон арксинуса: положение максимумов. Вспомним две совер­ шенно противоречивые народные мудрости: новичкам везет и первый блин — комом. Оказывается, что народ по-своему сформулировал вторую теорему арксинуса.

Оставляя за рамками нашего рассмотрения сложные расчеты, отметим только, что, согласно этому закону арксинуса, существует сильная тенден­ ция к расположению максимумов вблизи начальной или конечной точек пути блуждания*.

Однако народ это подметил гораздо раньше ученых мужей и отразил в своих мудрых поговорках.

Сценарий первого блина выражен в законе бутерброда (он же за­кон подлости). Слышится он и в поговорке: Что ни начну, все неудача.

С другой стороны, очевидно, что именно данный закон послужил осно­вой и для такого народного наблюдения: новичкам везет, и неладно, да удачливо, за что ни возьмется, все ему удается**.

Правда, так получается не у всех, а только у самых удачливых игроков. Иначе говоря, везет тем, кого случай везет. А всем остальным новичкам гарантирован первый блин комом.

Впрочем, всегда есть место для надежд на то, что со временем все образуется.

Безусловно, в каждой отдельной серии испытаний конфигурация волны может быть различной, но тренды и волны следует воспринимать как наи­ более вероятное развитие событий.

Читать далее: Закон инерции