Разделы



Совпадения

Случайные и закономерные совпадения. В обыденной жизни термин со­ впадение обозначает случайность того или иного результата. Как говорит­ ся, не думали — не гадали, а так получилось.

Вообще говоря, на случайных совпадениях разного рода во многом пост­ роена вся наша жизнь, в которой, согласно одному из афонаризмов:

Все может быть и быть все может, И все, что может, — может быть. Но одного лишь быть не может — Того, чего не может быть*.

В условиях чистой случайности, где действуют определенные закономер­ ности, тоже всякое возможно. Кроме невозможного, конечно. Но если воз­ никло какое-то совпадение, которое явилось успешным результатом целе­ направленного и запланированного учета действующих вероятностных за­кономерностей на основе интуитивных ощущений или рациональных вык­ ладок то правомерно было бы рассматривать такой случайный результат, как явление вполне закономерное.

Мера случайности или закономерности совпадения в пространствах чи­ стого случая зависит от того, в какой степени удается интуитивно или с расчетом успешно учесть действующие там вероятностные законы.

Представим игрока, который при бросках идеальной монеты каждый раз делает ставку на эффект последействия или ориентируется по звездам. Полученный тогда результат представляется более обоснованным рассмат­ ривать как полностью случайное совпадение, хотя астрологи могут и возра­ жать против этого.


Но если тот же игрок последовательно выдерживает некую линию пове­дения, основанную на своем реально существующем даре предвидения, ин­ туиции или грамотных вероятностных расчетах (например, с учетом эффекта выбора или первой теоремы арксинуса), то возникающий суммарный итог, хотя он и состоит из цепи отдельных совпадений, будет уже предопределен в соответствующей мере теми действующими закономерностями, которые были должным образом учтены.

Как уже подчеркивалось, традиционные пространства поведения рынка являются неопределенными, так сказать, в самом худшем понимании этого слова. Дурь этой неопределенности выражается в неясности того, когда, насколько и как долго поведение рынка отлетит, к примеру, от фунда­ мента макроэкономики или каких-то других правил игры, по которым ры­ нок может вести себя.

Поэтому результаты работы трейдера в традиционных пространствах могут быть закономерными лишь в той степени, в какой ему удалось верно разобраться в расстановке движущих сил рынка и правильно учесть это в своих решениях. Если же сделанные оценки оказались неверными, а дей­ ствия неуместными, то возможные положительные достижения, получен­ные в результате просчета, — это явно случайное совпадение.

Дополнительное измерение — это пространство чистой случайности. Здесь действуют только вероятностные закономерности. Поэтому если ус­пешные решения принимались с учетом действующих вероятностных за­ кономерностей, то результаты будут уже не чисто случайными, а законо­ мерными совпадениями.

п»ї

Вероятность совпадения как случайная величина. Если мы примем на воо­ ружение некую систему учета-расчета вероятностных закономерностей и затем проведем несколько серий испытаний, то получим эмпирические зна­ чения успешности совпадений. Для каждой серии можно рассчитать отно­ шение к( совп)/г, т.е. числа успешных совпадений к длине серии испыта­ ний. Данное отношение — это эмпирическая вероятность совпадений в дан­ ной серии:

р( ехр) = к(совп) /г.

Величина отношения р( ехр) может меняться от серии к серии случайным образом. Иначе говоря, в качестве случайной величины можно рассматри­ вать не только число совпадений, но и саму вероятность совпадения. Бу­ дучи случайной величиной, она может быть охарактеризована соот­ ветствующими теоретическими показателями математического ожидания и дисперсии.


Тогда, сравнивая теоретические оценки вероятности, ожидаемой согласно модели чистой случайности, с теми, что были получены эксперименталь­ ным путем, можно делать соответствующие выводы. Здесь возможны два крайних варианта:

•       фиксируемые отклонения могут находиться в пределах до­ пустимой статистической ошибки, что говорит об отсут­ствии каких-либо закономерно действующих факторов;

•       фиксируемые отклонения могут быть статистически зна­ чимыми, что свидетельствует о том, что это закономерное явление.

Напомним некоторые оценки.

Для биномиальной модели вероятность успешного совпадения в каж­дом испытании равна значению р. Эмпирическая вероятность успеха со­впадений по серии испытаний вычисляется как соотношение общего числа имевших место успехов (к) и всех испытаний (г):

По известным формулам получаем, что математическое ожидание вероят­ ности успеха Е( к):

Курсы Forex - это хорошая для Вас подготовиться к прибыльной работе на Форекс!

При тех же исходных условиях дисперсия s 2 вероятности успеха:

Для г биномиальных испытаний в рамках модели идеальная монета (р = q = 0,5) стандартное отклонение:

Как видим, стандартное отклонение вероятности успеха от его математи­ ческого ожидания с возрастанием г (при постоянном р) убывает*. Проще


говоря, чем больше испытаний, тем меньшим будет отклонение эмпиричес­ кий вероятности успеха от ее математического ожидания.

п»ї

Для оценок вероятности отклонения непосредственно самой вероятности успеха можно также пользоваться теоремой Чебышева.

Полученная таким образом оценка называется доверительным интервалом.

Статистическая проверка биномиальных гипотез. Статистические данные о вероятности успеха, полученные в экспериментах по биномиальной модели испытаний, могут подтверждать или опровергать оценку, теорети­ чески принятую в качестве рабочей гипотезы.

Это выясняется на основании того, в какой мере отклонения экспери­ментальных данных укладываются в теоретически определенный довери­ тельный интервал.

Рассмотрим пример.

Предположим, что некий разработчик рекламирует свой программный продукт, утверждая, что изобретенная торговая система генерирует сигнал, который дает результаты, осторожно оцениваемые как р > 0,5. Если в каче­ стве нулевой гипотезы считать условие р = 0,5, то это несколько лучше.

Иначе говоря, предполагается, что получаемый с помощью предлагае­ мой системы результат не является чисто случайным совпадением, а за­ кономерно отражает заложенные разработчиком в чем-то верные сообра­ жения и представления о поведении рынка.

Но потенциальный клиент занимает осторожную позицию и начинает с нулевой гипотезы, согласно которой результаты все же будут случай­ным совпадением. А отклонения от р = 0,5 лежат в пределах статистичес­кой ошибки.

Для статистической проверки нулевой гипотезы специалистами было решено провести 25 экспериментальных торговых операций, которые дол­жны показать, выйдет ли эффективность сигнала за пределы ожидаемых случайных совпадений.

Делаем расчет дисперсии вероятности для нулевой гипотезы (р = 0,5):

Тогда стандартное отклонение от значения р = 0,5 — это s = 0,1.


Согласно грубой оценке по теореме Чебышева (для р = 0,5), имеем сле­ дующие доверительные интервалы:

• с вероятностью 75% все отклонения будут в пределах:

• с уверенностью на 90% для пределов:

Это означает, что вполне уверенно (не менее чем на 90%) можно будет гово­ рить о подтверждении заявления трейдера об эффективности его системы генерирования сигнала, если значение:

Иначе говоря, число успехов должно оказаться выше 20 из 25 генерирован­ ных сигналов. Соответственно варианты значений р( ехр), которые хуже, не могут рассматриваться как удовлетворительные по данному критерию.

Впрочем, все зависит от того, какие доверительные интервалы рассмат­ риваются как приемлемые по своей доказательности. Если ограничиться 75%-ным критерием, то барьером, который потребуется преодолеть, ста­ нет 17 из 25.

Теорема Байеса и вероятность совпадения. Обратим внимание на то, сколь значительным может быть даже чисто случайное отклонение. Даже, если в ходе проверки успешно сработают все 25 сигналов, это тоже может быть случайностью, хотя и маловероятной. Необходимую ясность здесь способ­ ны внести только дополнительные эксперименты.

Но до того, как они начнутся, оценка вероятности успеха вызывает к себе лишь некоторую степень доверия, которая в свою очередь основана на интуиции, здравом смысле или каких-то иных гипотетических соображе­ ниях наблюдателя.

Чтобы отличать такое сугубо личное отношение от статистически обо­ снованных оценок, иногда говорят о персональных вероятностных сужде­ ниях*. Тем самым подчеркивается факт выражения личной (персональной) степени доверия наблюдателя к исходной (априорной) оценке вероятности.

Конечно, последующие дополнительные эксперименты могут укреплять или ослаблять эти персональные оценки.

Уже представленную ранее теорему Байеса об условной вероятности и принято использовать для внесения изменений, соответствующих резуль­ татам экспериментов.


Рассмотрим развитие ситуации в нашем прежнем примере: после некото­ рой доработки разработчик уточнил свое утверждение. Теперь он уверен, что его система способна давать результат на уровне 7 успехов из каждых 10 генерированных сигналов.

Таким образом, скептик должен предварительно как-то определить свое личное отношение к двум гипотезам: нулевой и 0,7. В такой ситуации удобно использовать оценки в виде шансов в пользу той или иной гипотезы (как это обычно делается в букмекерских конторах).

Скептик посоветовался с собой и решил, что нулевой гипотезе (р = 0,5) он доверяет на 98%, а гипотезе р = 0,7 — лишь на 2%. Это и есть пер­ сональные вероятности: Р( перс; р = 0,5) = 0,98 и Р(перс; р = 0,7) - 0,02.

Здесь важно подчеркнуть, что гипотезы, которые относятся к вариантам р = 0,5 и р = 0,7, должны составлять пространство элементарных событий. Это значит, что если степень доверия к одному из них выражается как Р( перс), то степень доверия к другому событию обязана стать i - Р(перс).

В данном случае имеем крайне скептическое соотношение — 49:1 в пользу нулевой гипотезы.

Далее, скептик проконтролировал 25 экспериментов по генерированию сигнала и зафиксировал 17 успехов, что соответствует р( ехр) = 0,68.

Подвели итог.

Разработчик посчитал, что он почти доказал свое утверждение. Но скептик сомневается: ведь результат-то оказался на границе лишь 75%-ного доверительного интервала.

Тем не менее, скептик не может игнорировать полученные в ходе экспе­ римента данные и готов внести в исходные шансы (49:1) коррективы, но только на основе научной аргументации.

В этом качестве и служит теорема Байеса: необходимо рассчитать сте­ пень доверия к двум гипотезам (р = 0,5 и р = 0,7) при условии, что про­ изошло событие р(ехр) = 0,68.

Тогда скорректированные шансы в пользу нулевой гипотезы:

Можно посчитать самостоятельно или найти по таблицам*, что:


и

Тогда экспериментальное соотношение шансов двух гипотез становится рав­ ным примерно:

(49 х 0,032) / (1 х 0,165) = 9,50,

т.е. 95/10, или примерно 9/1, вместо прежних 49/1.

Но допустим, что разработчик проявил настойчивость, и к тому же ему сопутствует удача: еще в одной дополнительной серии из 25 экспериментов он вновь получил 17 успехов.

Скептику приходится вносить поправку теперь уже в предыдущую оценку:

(95 х 0,032) / (10 х 0,165) = 1,84,

т.е. уже получается величина примерно 9/5 вместо прежних 9/1.

Наконец, скептик договорился с неутомимым исследователем провести третью решающую серию из 25 экспериментов.

Разработчику снова повезло: те же 17 успехов.

После окончательной поправки скептиком своего отношения под влия­нием трех экспериментальных серий по 25 испытаний и с 17 успехами в каждой серии получаем соотношение:

Это означает, что в оценке скептика произошел перелом: впервые он вы­ нужден оценивать шансы гипотезы р = 0,7 более предпочтительно, чем ну­ левой. Если до этого шансы в пользу неблагоприятной для разработчика нулевой гипотезы были 9/5, то сейчас это уже примерно 2/5, т.е. произо­ шел сдвиг от р = 0,5 в пользу р = 0,7.

Между прочим, для этого потребовались три успешные серии подряд: тут даже самый заядлый скептик-экстремист (98 против 2) должен немед­ленно сдаваться. Или — потребовать еще серию, а может, и не одну с тем, чтобы сдаться при оценке, скажем, 1:1000.

Однако никто не сможет предугадать исход заранее. И даже, если все опять сложится благополучно для трейдера-исследователя, это можно рас­сматривать просто как невероятное везение: вот такой у него, мол, замеча­ тельный арксинус!

Трм нр мрнрр испллъчокянир яяннпгп гттоглбя ппоирпки ня гттлдтяйногтт* тех результатов, с которыми приходится сталкиваться в различных исход­ ных условиях, позволяет делать вполне уверенные оценки, касающиеся эффективности конкретно применяемых систем работы.


Оценка фактора удачливости. Человек живет в мире, полном случайнос­ тей. Там, где они подстерегают нас особенно усердно, не стоит удивляться тому, что одним людям сопутствует удача, а другим она кажется недости­ жимой роскошью.

Действительно, каждый из нас не раз убеждался, что по жизни есть бо­ лее и менее удачливые люди. Одни — явные везунки. К ним счастье при­ дет и на печи найдет. У других — ничто не складывается. О них говорят: Одна копейка — и та ребром. А третьих — словно на волнах качает: то холодно от неудач, то жарко от счастья.

Все это — блики законов арксинуса.

Биномиальная модель Бернулли приложима при изучении реальных процессов, происходящих не только в физике, но и в любых других сферах, где правит случайность*. Во всяком случае, страховые компании сориентировались быстрее всех. Они давно взяли теорию вероятности на вооружение и научно обоснованно повыша­ют страховые взносы тем, кто имеет склонность попадать в неприятности.

Философское звучание здесь в том: не рождается ли каждый человек с заданной на всю жизнь предрасположенностью? Например, фаталисты, не утруждая себя доказательствами, отвечают на этот вопрос утвердительно. Столь же бездоказательно мы беремся верить в обратное : человек всегда сам может сделать выбор, который способен изменить последующий ход жизни.

Экспериментально же об этом можно судить только на склоне прожи­ тых лет.

Но каждому трейдеру, решившему испытать на себе действие этих законов в практике торгов, было бы полезно проанализировать свой жизненный путь.

Если тот увенчан не шипами, а розами, то можно надеяться, что изна­чально присущая удачливость, согласно эффекту выбора, может найти свое продолжение и в трейдинге.

С другой стороны, человеку, которому по жизни вечно не везет, пото­ му что родился он не с той стороны синусоиды (не та предрасположен­ность), лучше, возможно, воздержаться от испытания своей невезучести в спекулятивных операциях на рынке.

Впрочем, поскольку мы — противники фатализма и сторонники веры в способность человека управлять своей судьбой в определенной мере, ко­нечно, нельзя исключать, что даже самый неудачливый по жизни человек вдруг получит лакомый кусок своей синусоиды в трейдинге.

В конце концов, любой живущий на земле Homo sapiens уже априори является везунком: ведь ему, сумевшему опередить многие миллионы менее удачливых претендентов, был дарован шанс появления на свет.

Остается надеяться, что на этом везение не закончилось.

В этой связи прелюбопытно было бы оценить с помощью статистичес­ кой проверки свою не воображаемую, а реально имеющую место удачли­ вость (или, возможно, имеющийся психологический дар предвидения).


Конечно, окончательный вердикт любым оценкам можно вынести толь­ ко после завершения жизненного пути человека. Да и то, в силу часто воз­никающей неоднозначности оценки одних и тех же событий (все, что ни делается, — к лучшему; не было счастья, да несчастье помогло и другие народные наблюдения) установить это в безусловном порядке удается да­ леко не всегда.

Мы ограничимся оценкой удачливости (везения), которое проявляется при игре в орлянку (модель: опыты Бернулли с идеальной монетой, в роли которой может выступать генератор случайных чисел).

В качестве одного из самых простых и показательных способов предла­ гается разновидность того порядка действий, который выше уже применялся для статистической проверки гипотез:

1)           наугад (предварительным броском монеты) устанавливаем предпочтительную сторону (орел или решка) для после­ дующих ставок на нее;

2)     проводим по крайней мере четыре серии ( N = 4) по г = 25 испы­ таний, при которых неизменно делаем ставку на предпочтитель­ ную сторону;

3)     для каждой серии строим кривую блуждания;

4)     оцениваем результаты.

Нулевой гипотезой будет служить предположение, что отклонение ре­зультатов от математического ожидания попадет в пределы статистической погрешности, значимость которой можно примерно оценить исходя из тео­ ремы Чебышева.

Отклонение от нулевой гипотезы позволит судить о степени удачли­ вости, но лишь применительно к опыту с идеальной монетой и только для данного эксперимента.

Насколько удачливость (или невезучесть), показанная здесь, может иметь продолжение и в практической работе с сигналами, неизвестно. Для прояснения потребуется дополнительная статистическая проверка соответ­ ствующей гипотезы. Она может основываться, в частности, на предположе­ нии о действии эффекта выбора: удачливость, как и талант, если есть, то проявляется во многих областях. Но окончательно подтвердить или опро­вергнуть это смелое суждение способна только практика.

Поэтому к полученным оценкам нужно относиться как к таким, которые имеют относительное значение. Обобщать эти результаты слишком широ­ ко едва ли было бы корректно.

Однако при прочих равных условиях результат работы трейдера будет определяться не только удачливостью. Более того, мы полагаем необходи­мым для трейдера делать ставку вовсе не на нее. Проявление предрасполо­ женности трейдера должно учитываться просто как данность.

Главным же в практической работе должны быть умение расчетливо ис­ пользовать вероятностные закономерности и продуктивное использование собственной интуиции и других психологических возможностей человека.


Каким будет вес и соотношение этих факторов в работе данного конк­ ретного трейдера, зависит только от него самого.

К рассмотрению именно этих вопросов мы и перейдем.


Резюме

Несмотря на кажущуюся противоречивость словосочетания закономерно­ сти случайных событий, оно вполне оправдано, поскольку воля чистого слу­ чая тоже действует по-своему упорядоченно.

Успешность исхода испытаний, будучи случайным событием, подчи­ няется закономерностям статистического распределения, характерного для всякого пуассоновского процесса. Зная исходные вероятности успеха и не­ удачи для отдельного испытания, можно рассчитать математическое ожи­ дание итогового результата и величину стандартного отклонения от него.

Непосредственная конфигурация результатов, которая может склады­ ваться в процессе биномиальных испытаний, подчиняется своим вероятност­ным закономерностям. Основное смысловое содержание их заключается в за­ коне повторного логарифма: несмотря на незыблемость закона больших чи­ сел, не позволяющего ожидать большего, чем исходная вероятность успеха, в каждой конкретной серии испытаний могут произойти любые отклонения от среднестатистических значений наблюдаемой случайной переменной.

Законы (теоремы) арксинуса уточняют это представление и обосновыва­ ют предположение о двух наиболее вероятных конфигурациях кривой блужда­ ния результатов биномиальных испытаний при равновероятности исходов:

•       во-первых, это вполне выраженный тренд в благоприятном или неблагоприятном направлении;

•       во-вторых, волновой характер смены периодов успеха време­ нами неудач.

В конкретной серии биномиальных испытаний воля чистого случая прояв­ляет себя, прежде всего, в зависимости от удачливости игрока.

Вместе с тем, если он имеет возможность выбирать меру и способ своего участия в игре, то результат будет определяться следующими факторами:

•       удачливостью, которая влияет на успешность случайных совпа­ дений;

•       интуицией и/или даром предвидения трейдера;

•       умением расчетливо использовать вероятностные закономерности.

В каком порядке эти факторы расположатся для данного конкретного трей­ дера, будет зависеть только от него самого.


Читать далее: Управление случаем