Разделы



Оптимизация инвестиционного портфеля

Решение проблемы оптимального распределения долей капитала между ценными бумагами, сводящего общий риск к минимальному уровню, и составление оптимального портфеля было предложено в 50-е годы ХХ века американским ученым Г. Марковицем. Формализованная модель Г. Марковица, а также разработанная в начале 60-х годов модель В Шарпа, позволяет добиваться формирования такого инвестиционного портфеля, который бы отвечал потребностям и целям каждого индивидуального инвестора. Как любая формализованная модель, указанные модели имеют ряд допущений и могут быть реализованы только при определенных условиях (на отечественном фондовом рынке не все есть условия).

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью “ Portfolio Selection ”, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля1. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E ( r ) – ожидаемую доходность и σ - стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска σ . Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

3.1 Эффективные портфели

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей , так называемой границы эффективности . Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1.  Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

2.  Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образуют так называемую границу эффективности . Э ффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E ( r ) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

п»ї

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации,        называется                                                дивесрифицируемым ,                                                         или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

3.2 Общая постановка задачи нахождения границы эффективных

портфелей

Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой доходностью E( rn ) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

при заданных начальных условиях:

Для   решения    задачи    нахождения    оптимального   портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а)   n значений ожидаемой доходности E ( ri ), где i = 1, 2,…, n каждой
ценной бумаги в портфеле;

б)   n значений дисперсий σ i 2 каждой ценной бумаги;

в)   n ( n -1)/2 значений ковариации σ i 2 , j , где i , j = 1, 2,…, n .

Если подставить значения E ( ri ), σ i и σ i , j в выражения (9 – 11), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi – “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг по сути дела сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е * инвестор должен найти такие значения Wi , при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е * инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Прогнозирования являются стержнем любой торговой системы, в связи с этим хорошо воспроизведенные прогнозы Форекс могут сделать Вас весьма состоятельным.

3.3 Нахождение оптимального портфеля

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E ( r ) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E ( r ) и σ , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна , и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным , то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

п»ї

На практике конкретный инвестор, построив границу эффективных портфелей, должен задать себе вопрос – какую доходность он ожидает от портфеля? После этого по кривой границы эффективных он определяет уровень σ такого портфеля. Затем инвестор должен оценить, удовлетворяет ли его такой уровень риска. Если инвестор готов к более высокому уровню риска, то ему целесообразно выбрать портфель с более высокой E ( r ). Тот портфель, который при установленной инвестором доходности E ( r ) даст наилучшее сочетание E ( r ) и σ , будет оптимальным, для данного инвестора.

4. Оптимизация инвестиционного портфеля по методу Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i -ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а норму отдачи rm - рыночной нормой отдачи.

Пусть норма отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1 , rm 2 , ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i -ой ценной бумаги имела значения ri 1 , ri 2 , ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = а i + р i rm,t +8i,t                          (12)

где:   ri t - доходность i -ой ценной бумаги в момент времени t ;

а i - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i -ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

P i - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rmt - доходность рыночного портфеля в момент t ;

е i , t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения rit и rmt порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру рi, поскольку он определяет чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если $>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при f r < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности h от средней арифметической (ожидаемой) величины E( r ) j , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной

Р .

4.1 Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

E(rn ) = У WiE(ri)                     (13)

i=1

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту

формулу выражение для ri из формулы (12):

E( rn ) = n ; Wi E(аii rm + бi) = n ; Wiii) + n ; WiгE( rm )        (14)

i =1                                         i=1                          i=1

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (14)можно представить в виде:

n WiPiE(rm) = Wn+1E(an+1 + sn+1)      (15) i=1

где : Wn+1= n Wi Д i ; (15a)

i =1

an +1 + sn +1= rm .

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии    рыночной    доходности:     ^n+1=с£.    Выражение    (15a)

представляет собой сумму взвешенных величин “беты” ф i) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi ) и называется портфельной бетой (Р n ). С учетом выражений (14) и (15) формулу (13) можно записать так:

E( rn ) = х Wi E(аi+еi)                                          (16)

i =1

а поскольку E ( Si ) = 0, то окончательно имеем:

E ( rn ) = yWiai                                                   (17)

i =1 Итак, ожидаемую доходность портфеля E( rn ) можно представить состоящей из двух частей:

а)     суммы взвешенных параметров а i каждой ценной бумаги -
W 1 tt 1 + W 2 a 2 + .... + Wnan , что отражает вклад в E( rn ) самих ценных
бумаг, и

б)      компоненты Wn +1 an +1 = n WiAE ( rm ),   то    есть    произведения

i =1 портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Читать далее: Дисперсия портфеля