Разделы



Опционы — инструмент спекуляций и хеджирования

Рассмотрим простой, элементарный пример определения цены опциона с учетом всех основных факторов влияния на его стоимость.

Возьмем, например, акции условной компании ABC . Предположим, что мы уже обладаем пакетом этих акций в размере 1000 штук. При этом мы знаем, что:

—   текущая рыночная цена одной акции ABC равна $16;

—   процентная ставка по безрисковому долговому инструменту состав ляет 5% годовых;

—   периодичность выплаты процентов один раз в год;

—   временной горизонт (рассматриваемый срок инвестиции) два года;

—   компания выплачивает дивиденды в размере $0.6;

—   периодичность выплаты дивидендов один раз в год.

Для начала всех этих знаний нам будет достаточно, поэтому попробу ем рассмотреть различные варианты стоимости опционов.

Первым делом нам необходимо будет определить будущую, фьючерсную цену акций компании ABC , которая является справедливой и для дер жателя и для потенциального покупателя этих ценных бумаг.

Если мы сейчас продадим наш пакет акций ABC по текущей рыночной цене в $16 за штуку, то сможем получить $16000.

Дальше мы можем вложить эти деньги в безрисковый актив и полу чить процентный доход в сумме $1640.

Вместе с тем, продав акции, мы не получим дивиденды за два года на общую сумму $1230.

Разделив $17640 на 1077, мы получим справедливую будущую сто имость акций компании ABC через два года — $16.38.

Похожую величину мы можем рассчитать также гораздо более простым путем, исходя из стоимости одной акции:

Справедливости ради надо заметить, что последний способ не только более простой, но и гораздо правильнее. Объясняется это допущением по купки акций компании ABC на дивиденды по цене $16 за штуку. На самом деле на момент инвестирования дивидендов акции компании ABC уже дол жны будут вырасти в цене до $16.41. То есть реально мы сможем купить не 77 акций, а 75.

Конечно же, нельзя говорить о том, что фьючерсные цены и реальные цены в будущем совпадают. Иначе просто достаточно было бы смотреть старые котировки (например, трехмесячной давности) фьючерсов на ак цию, для того чтобы ожидать соответствующей рыночной цены этой цен ной бумаги.

Вместе с тем, если реальная фьючерсная цена будет ниже справедливой, у держателя акций будет стимул продавать свои пакеты по текущим рыночным ценам, вкладывать полученные деньги в безрисковые активы для получения процентов на вложенный капитал и одновременно покупать фьючерсные контракты. Рост объемов спроса на последние должен будет поднять их стоимость до той величины, когда совершать подобные сделки будет уже невыгодно.

Похожую логику с точностью до наоборот можно будет применить для случаев, когда реальная фьючерсная цена оказывается выше справедливой.

п»ї

После определения фьючерсной цены акции компании ABC через два года можно перейти к рассмотрению примеров со стоимостью опционов.

Например, нам предлагают продать колл-опцион со страйком $16.50 и сроком до экспирации два года, а также премию в $1.5 за контракт.

Здесь необходимо помнить, что текущая стоимость суммы премии на наш пакет акций 1000 штук будет составлять больше $1500 (1000X1.5). Больше на величину процентов, т.е. на $153.75 (). Таким образом, реальная величина премии будет составлять $ 1653.75 (1500+153.75), или около $1.65 в расчете на одну акцию.

Точка безубыточности для покупателя этого колл-опциона составит $18.15 (16.50+1.65). То есть если рыночная цена акций компании ABC через два года составит $18.15, то покупатель колл-опциона исполнит его по цене исполнения (купит наш пакет акций в количестве 1000 штук) $16.50, полностью отбив величину ранее уплаченной премии, включая недополученные проценты. Мы при этом продадим акции фактически по цене $18.15 за штуку, что значительно выше ранее рассчитанной справедливой цены в $16.41. Если же рынок пойдет выше и рыночные цены поднимутся, например до $19, то продажа колл-опциона уже не будет самой эффективной стратегией — рынок будет идти без нас.

С другой стороны, нам также необходимо знать, падение цены акции ниже какой величины приведет продавца колл-опциона к убыткам при условии, что эти ценные бумаги будут по-прежнему оставаться в нашей собственности. Эта величина рассчитывается очень просто:

16.41-1.65= 14.76.

То есть если стоимость акций ABC через два года упадет ниже $14.76 (за точку отсчета здесь в отличие от определения верхней границы безубыточности колл-опциона берется справедливая фьючерсная цена), то продажа колл-опционов и получение премии по ним не покроет убытки от падения котировок. Если реальная рыночная цена через два года окажется ниже $14.76, то более оптимальной стратегией было бы еще в самом начале продать акции и не ввязываться в продажу колл-опциона.


Прогнозирования являются стержнем любой торговой системы, в связи с этим хорошо составленные прогнозы Форекс могут сделать Тебя донельзя состоятельным.

Итак, верхняя граница безубыточности для продавца колл-опциона со ставит $18.15. а нижняя — $14.76.


Для покупателя колл-опциона, если он все-таки реально заинтересо-ван в приобретении означенного количества акций, нижняя точка безу быточности будет составлять $14.85 (16.50 -1.65).

Теперь остается совершить последний шаг — определить вероятность того, что рыночная цена через два года останется в границах безубыточ ности. Здесь-то и помогает знание волатильности (стандартного откло нения) рынка. И именно этот-то вопрос и является главным в определе нии стоимости опциона, главным и неизвестным. Недаром говорят: вола- тильность является объектом торговли в опционах.

п»ї

Историческая волатильность может при этом навредить — достаточно вспомнить последствия изменения темпов падения рубля в августе 1998 года для российских банков. Плавное движение котировок рубля против долла ра США в рамках валютного коридора практически в одночасье сменилось штормом, разбившим не одну стратегию и расчет. Именно поэтому при работе с опционами рекомендуется использовать в первую очередь внутреннюю волатильность, историческую лишь имея в виду.

Как же рассчитать и откуда взять внутреннюю волатильность? Одним из самых простых способов является получение значения такой волатиль ности напрямую с рынка, уже оценивающего подобные опционы. Може те также попытаться скорректировать превалирующую на рынке внут реннюю волатильность на значение средней исторической волатильности выбранного инструмента. Результатом определения внутренней вола тильности станет значение стандартного отклонения.

Итак, закончим наше маленькое исследование сермяжной правды оп ционов.

Для этого нам необходимо оценить вероятность того, что цена через два года (здесь также необходимо сделать предположение о колл-опционе как опционе европейского типа) останется в коридоре от $14.76 до 18.15, т.е. продажа колл-опциона будет являться экономически целесообразной.

Зная внутреннюю волатильность выбранного инструмента для задан ного периода времени (два года), по формуле (3.13) можно рассчитать ве роятность роста цены выше верхней границы ($18.15) и вероятность па дения ниже нижней границы ($14.76).

Например, при значении стандартного отклонения акций компании ABC в 2.4 на периоде в два года вероятность составит

Таким образом, получается, что вероятность того, что рыночная цена через два года останется в расчетном коридоре от $14.76 до $18.15, состав ляет 52.07% (100% - 47.93%).

Дальше можно рассчитать, насколько целесообразна продажа колл-оп циона, для чего используем формулу математического ожидания:

где х — средняя сумма убытка, который получит продавец колл-опци она с вероятностью 47.93%, оставивший в своей собственности пакет ак ций компании ABC .

Данная величина, к сожалению, неизвестна. Однако можно рассчитать цену, где математическое ожидание продажи колл-опциона окажется ну левым, нулевым отдельно для верхней и нижней границ:

То есть если рыночная цена окажется в пределах от $13.04 до $20.02, то математическое ожидание получения прибыли от продажи колл-опциона для его продавца будет положительным. То есть если мы ждем, что рынок останется (теперь уже с вероятностью максимально близкой к 100) в пределах от $13.04 до $20.02, то продажа колл-опциона с оставлением акций компании ABC в своей собственности будет экономически целесообраз ной. Соответственно покупателя колл-опциона будет интересовать эта сделка, если он ожидает снижение цены или ниже $13.04 (если, конечно же, он действительно хочет купить акции), или выше $20.02.

Вот так вкратце выглядит элементарная логика определения стоимос ти опционов, во главе угла которой стоит оценка экономической целесо образности через математическое ожидание.

Основным узким местом при этом является знание внутренней вола-тильности базового актива, на который выписывается опцион (стандарт ного отклонения).

Если вы захотите рассчитать теоретическую стоимость опциона с использованием более серьезного и точного подхода, то для это можно ис пользовать одну из следующих моделей.

Есть несколько различных теоретических моделей зависимости цены опциона от перечисленных выше переменных. Эти модели различаются особенностями оцениваемых активов (акций, товаров, фондовых индексов, валют и т.п.), а также отличаются от сделанных предположений.

Теоретические модели помогают оценить, сколько должен стоить кон кретный опцион в конкретный момент времени, хотя полученная оценка и не будет являться истиной в последней инстанции.

Однако, как правило, встречается ситуация, когда реальная цена силь но отличается от цены справедливой. В подобных ситуациях в теорети ческой модели вместо исторической волатильности, которую вычисляют по предыдущим данным ценового ряда, используется другая ее величина. Последняя подбирается так, чтобы справедливая цена совпала с реальной рыночной. Как мы уже знаем, эту волатильность называют внутренней ( implied volatility ). Этот подход хотя и ущербен в силу отсутствия строгой научности, но широко применяется практиками торговли опционами.

Использование теоретических моделей ценообразования опционов позволяет трейдерам вычислять прогнозную стоимость опциона в будущем. Если трейдер имеет какие-либо предположения о дальнейшем развитии рынка (например, через 15 дней цена актива вырастет на 5%, волатиль ность уменьшится на 2%, а процентная ставка останется неизменной), то он может рассчитать будущую цену опциона.

Наиболее распространенной моделью для расчета цены опциона явля ется модель Блэка—Шоулса ( Black — Scholes ),разработанная Фишером Блэ- ком ( Fischer Black ) и Майроном Шоулсом ( Myron Scholes ) в начале 70-х го дов. Кстати, за развитие теории ценообразования опционов Роберту Мер тону ( Robert Merton ) и Майрону Шоулсу в 1997 году была присуждена Но белевская премия по экономике. Эта модель хорошо описывает ценообра зование европейских опционов на акции. Узким местом модели Блэка— Шоулса является неизменность волатильности в течение жизни опционов со всеми ценами исполнения, а также подчинение цен случайному процес су с логнормальным распределением. Согласно модели Блэка—Шоулса пре мия опциона колл европейского стиля находится в прямой зависимости от цены базисного актива, волатильности, количества дней до экспирации и безрисковой процентной ставки, а также в обратной зависимости от цены исполнения.

Формулы для расчета стоимости европейских опционов колл и пут в модели Блэка—Шоулса выглядят так:

0( d ) — функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Ф(с1+) для колл-опционов находится в интервале от 0 до 1 (или от 0 до 100%), а для пут-опционов — от -1 до 0 (или от -100 до 0%);

0( d ) = 0.5 + w [0.5 ~ z (1.3302744/ -1.821256/ +1.7814779/ - 0.356538/ + 0.3193815)0]; И

е — экспонента (константа с численным значением 2.71828182845905);

К — цена исполнения опциона;

S 0 — цена базисного актива в момент покупки/продажи опциона;

г — безрисковая процентная ставка (например, если 6%, то для расчета используется 0.06);

Т— доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количе ства дней до истечения опциона к 365);

а — волатильность, измеряется и дается в процентах годовых. В наи более распространенном варианте представляет собой стандартное откло нение цены.

Один из наиболее распространенных вариантов расчета волатильнос- ти (логарифмический) выглядит следующим образом. Сначала рассчиты вается ряд логарифмов изменения цен:

rj ept — цена в момент времени ( f );

ptl — цена в предыдущий момент времени (£-1).

Далее рассчитывается среднеарифметическое ряда значений х за неко торый ограниченный период времени:

где п — некоторый ограниченный период времени, за который рассчи тывается волатильность (например, 10,20,30,60,90,120,150 или 180 дней).


Затем приведем рассчитанную выше историческую волатильность за некоторый промежуток времени к годовому значению



Далее рассчитывается историческая волатильность за этот ограничен ный промежуток времени

где 252 — количество рабочих дней в календарном году.

Значения всех параметров, кроме т, мы уже рассмотрели раньше. Па раметр задается в зависимости от вида базисного актива:

т = г — для опционов на акции, по которым не выплачиваются диви денды;

m = r - q — для опционов на акции,по которым выплачиваются диви денды с заданной непрерывной ставкой q ;

т = г -г, — для валютного опциона, где г — безрисковая ставка про цента в валюте торговли, а г. — в базисной валюте;

m = r - q — для опционов на фондовые индексы, где q — средняя ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;

т = 0 — для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь St — текущая фьючерсная цена;

m = r - q — для облигационных опционов, где q — приведенная купон ная процентная ставка, a St — текущая цена базисной облигации.

Практический пример расчета теоретической цены опциона

В качестве примера рассчитаем теоретическую стоимость опциона колл на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S & P 500.

Начальные условия.

Тип контракта — американский.

Дата исполнения — 21 мая 1999 года.

Текущая дата — 15 апреля 1999 года.

Т — доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365). На текущую дату срок до истече ния опциона составляет 36 дней. Таким образом, оставшаяся до истече ния опционного контракта доля года равна 0.09863.

е — экспонента. Численная константа 2.71828182845905.

К — страйк равен 1325.

SQ — цена фьючерсного контракта на курс фондового индекса S & P 500 в момент покупки опциона равна 1323.

г — безрисковая процентная ставка равна 10%.

s — внутренняя волатильность равна 17.43.

m = г— q . Если q — сумма планируемых к выплате дивидендов держате лю акций с момента эмиссии опциона равна 0, то т = г, т.е. т = 10%.

Отсюда рассчитаем



И, наконец, рассчитаем минимальную премию:


Таким образом, теоретическая стоимость опциона на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S & P 500 с указанной выше спецификацией составляла 34.58.

Реальная стоимость этого опциона на рынке составляла 34.60, что практически точно совпало с полученной нами оценкой.

Премии опционов можно рассчитывать при помощи так называемых опционных калькуляторов. Так, калькулятор для американского рынка акций находится на web -странице чикагской опционной биржи СВОЕ:

Модель Блэка—Шоулса исходит из целого ряда допущений, некоторые из которых являются критическими. Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Это допущение легко избежать, если вычесть ожидаемую величину дивидендов из премии, предварительно продисконтировав ее (скорректировав на безрисковую процентную ставку). Другим допущением модели Блэка—Шоулса является то, что она рассчитана только на опционы европейского типа. Третье предположение — что рынки являются эффективными, а динамика рыночных цен случайна. Это, пожалуй, самое спорное допущение, отражаемое в использовании трейдерами внутренней, а не исторической волатильности. Также следует отметить, что в мо дели Блэка—Шоулса совершенно не учитывается уровень комиссионных и других обязательных платежей, которые осуществляет трейдер опцио нами.

Модификацией модели Блэка—Шоулса для опционов на фьючерсы является модель Блэка ( Black ). Фишер Блэк разработал эту модель в 1976 году специально для оценки опционов на фьючерсы. При этом он рассматрива ет фьючерс как акцию, которая не приносит дохода свыше безрисковой процентной ставки.

Модель Кокса —Росса —Рубинштейна (Сох — Ross — Rubinstein ) учиты вает факторы, которые не рассматриваются в модели Блэка—Шоулса и являются усовершенствованным вариантом биномиальной модели. Вме сте с тем, модель Кокса—Росса—Рубинштейна дает результаты, близкие к модели Блэка—Шоулса. Отличие этих двух моделей заключается в учете возможности досрочного исполнения американского опциона, что очень важно пои высокой безоисковой поопентной ставке.

Модель Гармана —Кольхагена ( Garman — Kohlhagen ) создана специаль но для оценки опционов на валюты. В этой модели валюта рассматрива ется как актив, который приносит доход на уровне безрисковой процент ной ставки.

Модель Мертона ( Merton ), модель The Barone - Adesi - Whaley Quadratic model , разработана в 1973 году. Эта модель исходит из случайного характе ра изменений безрисковой процентной ставки, что является лучшим от ражением действительности, нежели допущения предыдущих моделей. Обычно модель Мертона используется для европейских опционов на акции. Также она дает неплохую оценку стоимости опционов на фьючерсы и более точные оценки для опционов вне денег.

Модель Дмитрия Буртова учитывает основной недостаток, присущий перечисленным выше моделям — предположение о неизменности волатиль- ности для опционов с различными ценами исполнения. Для расчета теоре тической цены опциона в модели Буртова используется кривая доходности { Yield Curve ), построенная на основании вчерашних цен закрытия { Yesterday Settlment ). Расчет цены опциона включает в себя следующие шаги:

а)   оценку вчерашней кривой доходности и сегодняшней доходности
конкретного опциона. Оценка проводится по модели Блэка;

б)   определение сдвига вчерашней кривой доходности относительно се
годняшнего ее значения;

в)   расчет средневзвешенной кривой доходности на базе вчерашней и се
годняшней кривой с учетом тиковых объемов { Tick Volume ) в качестве весов
для различных страйков (вчерашний тиковый объем полагается равным

г) полученная доходность подставляется в формулу Блэка для расчета цены и коэффициентов греческой таблицы опциона.

При использовании всех перечисленных выше моделей предполагает ся, что цены изменяются по логнормальному распределению. Однако в реальных условиях это условие не всегда выполняется. Согласно теории хаоса рынок не является случайным, а значит, и нормально распределен ным. Это замечание относится как к развитым, так и к развивающимся рынкам. Эффект отклонения изменения цен от нормального распределения наиболее заметен для опционов с малой стоимостью. Это объясняется тем, что участники рынка всегда помнят о возможном экстремальном движении цен базового актива, которое приведет к сильному увеличению стоимости данных опционов, а значит, их реальная рыночная стоимость обычно оказывается более высокой, чем это следует из формулы Блэка— Шоулса. Данный эффект носит название улыбка волатильности ( volatility smile ).

Модель Монте-Карло эксплуатирует классический метод Монте-Кар ло, который оценивает среднее значение некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опционов модель Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания премии (здесь дана оценка премии европейского опциона колл):

Здесь формула в скобках е rT ( ST - K )+ является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дис контированный выигрыш. Также в данной формуле вместо стандартного выигрыша ( ST - K )+ может использоваться любой нестандартный выигрыш, который больше нуля: FfS ^ К) ^ 0.

Премии американских опционов колл и пут по методу Монте-Карло могут быть вычислены как:

Для расчета премии американских опционов необходимо построить на интервале моделирования от 0 до Г равномерную сетку и оценить дис контированный средний выигрыш во всех узлах, ключевых точках сетки по формуле


В качестве премии принимается максимальное значение сеточной фун кции { Pt }.

Премия европейского опциона совпадает с Рр поэтому она не может превышать премию соответствующего опциона американского стиля. Здесь же следует отметить, что величина Р0 совпадает с внутренней сто имостью опциона.

В заключение отмечу, что торговать опционами также лучше всего от сильных уровней сопротивления и поддержки. Так, покупать коллы хорошо от сильного уровня поддержки. Покупать путы — от сильного уровня сопротивления. Продавать коллы — от сильного уровня сопротивления. Продавать путы — от сильного уровня поддержки. Покупать стрэддлы (одновременная покупка колла и пута с одной ценой исполнения) — от сильных уровней сопротивления или под держки. Продавать стрэддлы — на уровнях жизни.

Читать далее: Управление активами